KORALP

Bir mikrodalga daima bir mikrodalgadır. Hiçbir zaman bir elektrik süpürgesi, bir tost makinesi veya bir nükleer reaktör olamaz. Oysa bir bilgisayar bir kelime işlemci, interaktif bir video oyunu veya bir akıllı telefon olabilir. Sonsuz bir liste bu. Burada bilgisayarın benzersiz bir özelliğini görüyoruz: Bilgisayar herhangi bir makineye benzeyebilir, onun gibi çalışabilir.

Ama bilgisayarların yapabileceği şeylerin sınırı nedir öyleyse? İngiliz matematikçi Alan Turing, Nazilerin Enigma ve Fish şifrelerinin çözülmesinde oynadığı rolle tanınmıştır, bu çalışmasıyla II. Dünya Savaşı’nı birkaç yıl kısaltmış olduğu bile söylenir. 1930’larda, ortada henüz pratik anlamda bilgisayarlar yokken Turing “Bilgisayarların sınırları nelerdir?” sorusunu sormuştu. Ve bulduğu yanıt oldukça şaşırtıcıydı.

Bilgisayar en temel düzeyde bir sembol karıştırıcıdır. Bir demet sembol ─ örneğin bir uçağın yüksekliği, hızı, vb.─ girer, başka bir demet sembol ─ örneğin yakılacak jet yakıtının miktarı, kanatçık açılarında yapılması gereken değişiklikler, vb. ─ çıkar. Girdi olan sembolleri çıktı sembollerine dönüştüren şey, içeride depolanmış bir komutlar kümesidir. Çok önemli bir husus, bu programın yenilenerek yazılabilir olmasıdır. Bu sayede bilgisayar herhangi bir makineyi taklit edebilmektedir. Onun olağanüstü çok yönlülük ve verimliliğinin kaynağı işte budur.

Turing kâğıt üzerinde soyut bir makine tasarlamıştı, depolanmış bir programa dayanarak sembolleri karıştırıp yerlerini değiştiren bir makine olacaktı bu. Programı tek boyutlu bir şeritteki 0’lar ve 1’ler halinde depolanacaktı. Sayılar ve komutlar dâhil her şey sonuçta böyle ikili bir koda indirgenebilir. Makinenin tam nasıl çalıştığı ─ okuyucu/yazıcı bir kafanın rakamları teker teker değiştirmesi ─ aslında çok önemli değil. Can alıcı nokta, başka herhangi bir makineye ait betimlemenin ikili kodlama halinde Turing’in makinesine yüklenebilmesi ve böylece o makinenin işleyişinin taklit edilebilmesidir.

Turing makinesine ─ daha önce benzeri görülmemiş ─ bu becerisi nedeniyle, “evrensel makine” diyordu. Bugün de “Evrensel Turing Makinesi” adıyla anılıyor. Tabii günümüzde bu makineyi görüp de bir bilgisayar olduğunu anlamak imkânsız. Oysa tam anlamıyla bir bilgisayar. Bir evrensel Turing makinesi düşünülebilecek en basit bilgisayardır, yani programlamanın indirgenemez en küçük parçasıdır.

İşin tuhafı, Turing bu zihin makinesini geliştirirken, bir bilgisayarın neler yapabileceğini değil neler yapamayacağını göstermeyi amaçlamıştı. Bir matematikçi olarak bilgisayarların nihai sınırına ilgi duyuyordu. Turing’in hesaplanamaz bir problem bulma çabası uzun sürmedi. Hatta denebilir ki aramaya daha yeni başlamışken, ne kadar güçlü olursa olsun hiçbir bilgisayarın halledemeyeceği basit bir meseleye takılıp kaldı. Mesele şuydu: Bir program verilen bilgisayar, onun bir çarkın içinde çılgınca koşan bir hamster gibi bir döngüye girerek hep aynı komutlara geri mi gideceğini yoksa sonunda duracak mı olduğunu söyleyebilir mi?

İlk bakışta, Turing’i zorlayan bu “durma problemi” son derece basit görünebilir. Bir program sürekli hesaptan hesaba mı koşacak yoksa bir yerde duracak mı sorusunu yanıtlamak için o bilgisayar programını çalıştırmak yeterli değil mi? Ama ya hemen değil de bir yıl sonra sonsuz döngüye girerse? Veya bir yüzyıl sonra? Veya bir milyar yıl sonra? Herhalde problemi görmeye başladınız. Programın sonunda duracağından emin olmanın tek yolu, bunu program çalışmadan önce saptamış olmaktır. Peki bu mümkün mü? İşte Turing’in bulduğu cevap: Hayır!

1936’da zekice akıl yürüten Turing, bir programın sonunda duracak mı yoksa sonsuzca çalışacak mı olduğunu bilmenin imkânsız olduğunu gösterdi; dolayısıyla düşünülebilecek hiçbir bilgisayar da bunu yapamazdı. “Hesaplanamaz” bir şeydi bu.

Ne kadar güçlü olursa olsun hiçbir bilgisayarın altından kalkamayacağı basit bir mesele bulmanın bu kadar kolay olması, hesaplama dünyasının dikensiz gül bahçesi olmadığına işaret eden bir olguydu. Tuhaf ama çoğu problemin bilgisayarlarla hesaplanamayacağı anlaşılmıştır. Sanki kocaman bir hesaplanamaz problemler okyanusunda kaybolmuş ─ ve matematikçiler tarafından bulunmuş ─ bir hesaplanabilir problemler takımadası vardır.

Neyse ki sözü geçen bu durma problemi, çözümleri için bilgisayarları kullandığımız türde problemlerin ─ hesap tabloları oluşturmak, akıllı telefonları çalıştırmak, yolcu uçakları uçurmak, vb . ─ tipik bir örneği değildir. Bu yüzden Turing’in bilgisayarlarla ilgili olarak getirdiği sınır teknolojik bakımdan geri kalmamıza neden olmamıştır. Bilgisayarlar şaşırtıcı bir şekilde saf matematiğin soyut dünyasında doğmuş olan, hayal gücünün ürünü makinelerdir ama buna rağmen alabildiğine pratik araçlar oldukları ortadadır.

Bütün bunlara bir dipnot olarak, Turing’in keşfettiği hesaplanamazlık ile bundan sadece beş yıl önce Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel tarafından matematik alanında yapılan şok edici buluş arasında derin bir bağlantı olduğunu belirtelim.

Matematiğin her alanının aynı basit yapıya sahip olduğunu biliyoruz. Matematiksel doğrular ya da teoremler, aksiyom denilen doğrulukları besbelli olan önermelerden mantık kuralları uygulanarak elde edilir. 1900’de Alman matematikçi David Hilbert aksiyomlardan yola çıkıp mantık uygulayarak teoremler bulmanın mekanik bir süreç olduğuna dikkat çekti. Bunun için matematikçilerin sezgisine veya özel yeteneğine gerek yoktu. Teorik olarak tüm matematik, mantık kuralları içinde başka bir tarafa bakmadan ilerleyerek az sayıda aksiyomdan çıkarılabilirdi. Bu mekanik süreci betimleyen Hilbert, ─ farkında olmasada ─ bir bilgisayarın işleyişini anlatmış oluyordu.

1931’de Gödel, Hilbert’ın umutlarını altüst etti. Ne doğruluğu ne de yanlışlığı kanıtlanabilecek teoremler olduğunu gösterdi. Bunlar karar verilemez teoremlerdi. Bir benzetmeyle konu daha kolay anlaşılabilir. Aksiyomları bir binanın temel taşları, mantığı da onları balon gibi havada duran teoremlere bağlayan iskele olarak düşünün. Gödel’e göre böyle boşlukta yüzen ve temelin üstündeki iskele aracılığıyla asla ulaşılamayan balonlar daima olacaktır. Tabii yeni temel taşları eklemek her zaman mümkündür. Ama onlar da yeni balonlar yaratır.

Gödel’in karar verilemezlik teoremi ─ ya da daha yaygın adıyla tamamlanmamışlık teoremi ─ matematik tarihinin en ünlü ve en sarsıcı sonuçlarından biridir. Çalışma yayınlandığında matematikçilerin moralini öylesine bozdu ki bir kısmı umutsuzluğa kapılarak mesleği bıraktı. Ne denebilir ki? Tıpkı çoğu problemin hesaplanamaz olması gibi matematiksel önermelerin de çoğunlukla karar verilemez olduğu görülüyor. Kanıtlanabilir matematiksel doğrular kanıtlanamaz doğrular okyanusunda kaybolmuş bir takımadadan ibaret.

Yine de her şey kaybedilmiş değil. Durma probleminin bilgisayar kullandığımız sorunların tipik örneği olmaması gibi özel olarak Gödel’in kanıtladığı karar verilemezlik teoreminin de matematikçiler tarafından başarıyla keşfedilen türden teoremlerin tipik örneği olmadığı görüldü. Matematikçiler işsiz kalmadı böylece.

Demek ki soru şu: Matematikçiler kanıtlanamaz doğruların bu muazzam okyanusu içinde kanıtlanabilir doğruları nasıl bulabiliyor? Tanım gereği, takımadadaki her bir adaya diğer adaların her birinden yola çıkıp mantık kurallarını uygulayarak varılamıyor. Belki de bu ─ bazılarının iddia ettiği gibi ─ insan beyninin bilgisayardan daha fazla bir şey olduğuna ve düşünülebilecek hiçbir bilgisayarın başaramayacağı şeyler yaptığına dair bir işaret.

Marcus Chown, Infinity in the Palm of Your Hand, 2019 | Çeviri: Serdar Yüce